康德：命題與數學 - EP33

既然一切知識都是感性和知性的結合，康德接著要處理的就是那些和經驗相獨立的科學知識，例如數學。

分析命題與綜合命題

知識的基本單位是命題。命題又有兩種，一種是綜合命題(synthetic propositions)，一種是分析命題(analytic propositions)。綜合命題即主詞的意義(meaning)並不首先包含謂詞的意義。例如「明仔是個好人」，「明仔」本身的意義並不包含「好人」的意義，我們是通過經驗得知原來明仔是個好人，可能是由於明仔常常幫幫別人又有禮貌的關係，我們把「明仔」和「好人」這兩個概念綜合產生出「明仔是個好人」此命題。而當你告訴別人「明仔是個好人」，別人也可以有知識量上的增加，再回頭問你「原來如此，他怎麼好呢？」

另一方面，分析命題則是命題中的主詞意義已經包含謂詞的意義，例如「四腳生物有四隻腳」「一公斤綿花跟一公斤鐵一樣重」等等。如果明白「一公斤綿花」和「一公斤鐵」的意思，你就不用真的去量一量，你也知道此命題必定是真。同時，知道了這些命題你也不會有任何知識量上的增加。

先驗與後驗

在傳統哲學中，「分析命題」就是「先驗的」(a priori)，「綜合命題」就是「後驗的」(a posteriori)。因為先驗命題不依賴於經驗，用休謨(David Hume)的說法，分析只是概念上的關係，和經驗世界無關。而傳統哲學也認為「綜合命題」的唯一來源就是經驗，即只能通過具體的經驗來獲得與驗証，而由於經驗世界是偶然的，並不具有概念分析的必然性（例如「一公斤綿花等重一公斤鐵」必然真，是分析命題，但「明仔是個好人」並非必然真，只是在當下的歷史情況中它表現為真），「綜合命題」沒有必然性，其真假值也非恆定的。因此，傳統哲學的知識論中只有兩種命題，「先驗分析命題」和「後驗綜合命題」。

但數學命題究竟是「先驗分析命題」還是「後驗綜合命題」呢？用回康德的例子「7+5=12」，究竟是「先驗分析命題」還是「後驗綜合命題」呢?

數學知識是絕對的、恆定的，即不依賴於經驗世界，那應該是「先驗分析命題」，但如果那樣的話數學命題就不會增加人類的知識量。另一方面，數學知識的真假是絕對的、恆定的，也不是通過經驗獲得的，所以也不是「後驗綜合命題」。

康德提出的第三種命題類型——先驗綜合命題，消除了以上的問題。數學對康德而言不是分析命題，因為研究數學能確實地增長知識量，為人類知識提供新資訊。另一方面，數學命題也不是「後驗綜合命題」，因為數學的真假並不需要經驗世界的驗証。康德突破了傳統哲學的局限，提出了「先驗綜合命題」，一方面，數學的真理不是分析出來，不是明白了主謂詞的義意就能判斷真假。

比如說，「三角形內角和是一百八十度」，你可以明白「三角形內角和」這個字的意義，也明白「一百八十度」的意義，但你不一定說知道兩者必然的關係，你需要實際的計算，才可以綜合起兩者的必然關係，因此，數學命題並非分析命題，而是綜合命題。

同時，「三角形內角和是一百八十度」，是恆真的（在歐氏幾何中）、是不用經驗就能判斷真偽的命題，正如你並不需要見到每個三角形都去量度一下內角總和才能說「這三角形內角和是一百八十度」，所姒，數學命題並非後驗，而是先驗命題。因此，數學命題是先驗綜合命題。

數學研究的是什麼

數學命題又不是基於經驗世界、描述經驗世界。但根據康德，數學作為科學知識，其描述的對象又必須和感性相關，因此只有一個可能；數學研究的就是先驗的感性形式，即時空。

【讀者可能會發現，以非歐幾何為例子不是單純在解釋康德，而同時也對康德的理論提出疑問。康德的時代並沒有非歐幾何，數學對空間的理解也只局限於1-3維空間，因此與我們的三維空間感同步。但當三維以上的空間，這些「超越於」我們能直覺到的空間被計算出來後，康德的理論應如何回應？是否需要擴展我們可能的感性形式，擴展我們對感性形式的理解呢？】

之前我們已解釋康德認為時空是人作為認知主體的純粹感性形式，而此形式並非「存在於經驗世界之中」，而是人的必然認知機能本身。因此，數學，例如幾何學，研究的就是這個本身獨立於經驗世界的形式，但由於這個形式本身就是人類的感性形式，因此雖然數學研究的並非具體的感官對象，但它也沒有離開感性。而又由於數學是研究時空作為純粹形式的必然屬性，而非偶然的經驗事實，它又具有了如「分析命題」一樣的恆真性。

由此，康德完成了它的知識論，即把一切合法的知識都規定為「在感性範圍內的知性運用」，同時把一切舊形而上學的研究對象，如自由、靈魂、上帝等等「超感性對象」踢出合法知識的範圍之外。