數學哲學簡介（下）

費雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）（連結）

學過哲學的都知道，康德認為數學，至少部分數學知識是先天綜合的（不瞭解這個概念的可以參閱文末的注釋1）。為了解釋這樣的先天綜合知識是如何可能的，康德訴諸於認為我們有某種形式的直觀。但諸如此類的做法只是把關於數學哲學的困難轉移到更為困難的「直觀」概念上了。Alberto Coffa（<The Semantic Tradition From Kant to 卡納普> 1991）指出，整個19世紀西方哲學的主要課題就是如何不援引康德的直觀來解釋數學哲學的困難。邏輯主義的出發點即是從康德的困難這裡來的。簡單來說，邏輯主義同意康德認為數學是先天知識，但他們認為數學並非是綜合的，恰恰相反，數學是分析的（準確來說，這裡的分析概念較之康德已經發生了一些變化，不展開）。數學的概念與物件可用邏輯詞項定義，且在這些定義下，數學的定理可由邏輯原理推理出來。用一個略帶誇張的說法，數學僅僅是邏輯。數學物件，例如直線、函數等等不過是性質、概念、類等邏輯概念的組合。

「數學和邏輯學在歷史上曾是截然不同的研究領域，但在現代都有了發展：邏輯學越來越數學化而數學越來越邏輯化。其後果是，現在已不能在二者之間劃出一條界線；事實上二者是一回事……證明二者是同一的是一個細節問題。」（羅素 <Introduction to Mathematical Philosophy> 1919）

邏輯主義的開端來自弗雷格，他完成了一系列極其精細而富於技術化的工作，例如在不定義自然數的前提下僅僅依靠邏輯學資源定義一一對應的概念。在這裡描繪這些技術性的工作並不合適，但它確實是非常精彩而天才的。弗雷格本人僅僅討論了算術（數論），而沒有將其他數學分支也邏輯化。對於幾何學，弗雷格則是一個康德主義者，認為關於空間的幾何知識是先天綜合的。

儘管弗雷格的工作極其精彩，然而羅素先生的一封信還是使他遭遇了「一個科學家所能遭遇的最尷尬的情況：當他的工作即將完成之際，其基礎卻垮掉了」，這就是眾所周知的羅素悖論（Russell's paradox）。為了解決這個問題，羅素本人和懷特海一起對邏輯主義進行了進一步的發展，這些技術性的工作不具體討論。一言以蔽之，通過引入兩條有爭議的公理（預設），即可歸化公理和無窮公理（當然還有選擇公理），他完成了將他那個時代除了集合論之外所有數學的邏輯化，包括弗雷格沒有處理的幾何學在內。

需要著重說明的是，弗雷格本人在數學上持有本體論和真值雙重實在論立場，而羅素則持有本體反實在論立場（我不太確信他在真值問題上的看法。以及羅素出了名的善變，這只是針對他某一時期），這種立場也促使了他們在非直謂定義上的決定性分歧。回到我們的問題上去，弗雷格認為數學和邏輯都是實在的，並因此是可用的，同時它還能通過心靈把握邏輯的方式為心靈所把握。數學是通過語言（語義）分析被還原到邏輯上去，而心靈如何把握實在的邏輯則是另一個問題。羅素把數、函式定義為不同類型的類、類上的關係、類上關係上的關係等等，那麼我們仍然可以問數到底是什麼，和弗雷格不同，羅素認為類只是邏輯虛構，從而數學物件也只是邏輯虛構，即一種唯名論立場。那麼為什麼這樣的數學是可用的，我個人不太確信羅素本人對這個問題如何回答（羅素的著作太多了，而且他又不停地改變自己的觀點和立場）

在羅素以後，邏輯主義為維也納學圈（Vienna Circle）的邏輯實證主義者繼承，其中的代表人物是卡納普（Rudolf Carnap）。邏輯實證主義者拒絕傳統的本體論問題，在卡納普看來，數學和邏輯是一個語言框架，人們可以自由規定這個框架，在這之後才有了框架內的問題，比如一個物理學或生物學問題。這個框架不是先天存在的，而是一個約定（convention），或者說是一個習俗（tradition），之所以選擇這個框架而不是另一個可能是由於實用性等考慮。諸如數學物件是否實在並非是一個框架以內的問題，而任何問題都必須被限制在某個框架中，故而它是一個無意義的外部問題。而數學命題的真是關於這個框架的知識，它是先天的在於它不依賴於任何框架內的經驗。看上去卡納普好像是說數學是約定，但這樣的說法並不準確，準確來說我們應對於數學是什麼這樣的問題保持沉默，而不能問或說無意義的問題。

維也納學圈（英：Vienna Circle，德：Wiener Kreis）（連結）

在今天，邏輯主義已經有了新的發展，也就是新邏輯主義（neo-logicism，有時也作neo fregeanism），支持者包括Crispin Wright, Bob Hale等等。他們的主張主要是（1）數學是先天可知的，且可由分析的規則推導出；（2）數學存在於關於物件的理想王國中並獨立於人類的心靈。這是一種典型的本體論和真值實在論立場，那麼數學是如何被認識的呢？通過我們使用數學語言時表達的意思的知識，也就是說是通過語言的方式。顯而易見的，新邏輯主義的核心主張是從弗雷格那裡繼承的，它相較於傳統的邏輯主義的進步總體表現在諸多技術問題上，他們針對傳統邏輯主義所遇到的問題對一些概念和技術做出了改進。新邏輯主義計畫（neo-logicism program）即是弗雷格已有工作在今天的重構，和弗雷格一樣目前主要集中在數論上，還需要被擴展到全部數學上。

3.2 形式主義（Formalism）

眾所周知，早在1976年人們就通過電腦證明了四色定理。這是如何做到的，因為看上去電腦似乎並不知道它自己在幹什麼，它僅僅不停對記憶體內的資料進行處理，經由這樣的方式進行一個數學證明？讓我們回憶長除法（多項式除法），在這個計算過程中沒有任何技巧可言，我們僅僅將一個複雜的操作分解為多個機械化的小操作。寫一個程式實現這一功能並不複雜，在這裡多項式是否實在根本就是無關的，確切的說，它到底表示什麼也無關，有的僅僅是一系列操作。

形式主義大致上就是這樣一種觀點，所謂數學實際上是字元清單和一系列允許的操作規則，數學的本質就是對符號的操作，至於這些符號是什麼，則不屬於數學。例如我們可以將等式5+7=12變形作5+7-12=0，我們把等式右邊的項移到左邊末尾，並在前面加上-號，然後在右邊寫下0，在這個變形過程中符號5、7、12以及+-到底是什麼並沒有關係，基於同樣的規則我們可以把12=12變形作12-12=0這樣。

顯然的形式主義對於數學物件是一種唯名論立場，在其中有很多內部分歧，例如我們問數學究竟是關於什麼的，一種激進的形式主義者可以認為，它不關於任何東西或者僅僅關於這些寫在紙上的符號，所謂數學運算或證明就像是用這些符號進行某種遊戲，類似於下象棋，後期維根斯坦也許持有這樣一種觀點；而一種溫和的形式主義者可以認為，這個問題並非是一個數學問題，數學可以是關於確實實在的數學物件或不關於任何東西，無論任何，這個問題不屬於數學，通過這樣的方式，數學的本體論問題和數學實踐就得到了分離。類似的，在科學中反實在論或說工具論也有類似的觀點，電子並非，或未必是實體，它僅僅是一個假設，一套工具。

維根斯坦（L. Wittgenstein）（連結）

當然，形式主義者沒有必要在所有數學上都持有形式主義立場，例如我們也許會認為實數在某種意義上比起複數更加「實在」一點，形式主義者可以僅僅在那些困難的數學部分選擇形式主義立場，停止追問這些符號的意義，而僅僅關注關於這些符號的操作規則。正因如此，數學家們往往傾向於成為一個形式主義者，因為如此他們不會被數學哲學的諸問題所困擾（這裡的考慮有一方面類似於哥本哈根解釋之於量子力學）。引用菲爾茨獎得主Paul Joseph Cohen的說法，實在論可能是數學家最易接納的立場。而直到他意識到集合論中的一些困難時，他才開始懷疑這個立場。如果這個困難讓他沮喪，他就會沖向形式主義的避難所。

 
顯而易見的，形式主義完全不能解釋為什麼數學是可用的，一種溫和的形式主義也許可說不致力於解釋這一點，但對於那種激進的形式主義可應用性卻是一個無法回避的問題。

希爾伯特（David Hilbert）是一個著名的形式主義支持者，他採用隱定義（implicit defination）的方式去定義數學概念，所謂數學概念不過是滿足相應公理的詞項，「終有一天，我們能夠用桌子、椅子、啤酒杯代替點、直線和平面」，在這句名言中，希爾伯特表明了他的立場，「點、直線、平面」究竟是什麼根本是無關的，我們有的僅僅是例如「兩個點確定一條直線」這樣的約束條件（公理），把它理解作「兩把椅子確定一張桌子」也沒有任何問題，數學詞項不關於任何東西或可以關於任何東西，或者更確切說，它關於什麼和數學是無關的，數學是無意義的（have no meaning, 不是make no sense）。

在以其為名的希爾伯特綱領中，希爾伯特試圖通過形式主義：

（1）枚舉所有數學和邏輯中用到的符號；
（2）明確特徵化這些符號所有的合法組合方式，稱為「公式」；
（3）提供一個構造程式，使我們能夠成功構造所有可證的公式；
（4）證明所有公式可由（3）中方式證明，當且僅當對其所對應陳述的檢查顯示它是真的。

這其中，（1）（2）（3）對數學各個分支的公理化已經完成了，而（4）則代表了希爾伯特的野心（「我們必須知道，我們必將知道」），很遺憾，這個野心落空了。擊落它的就是哥德爾（Kurt Gödel）的兩個不完全性定理，幾乎可以說，這兩個定理摧毀了形式主義，在這之後就很少有數學哲學家支持形式主義了。但在哥德爾定理的影響下為形式主義做改進辯護並非是不可能的，通過一些極富技術化的細節工作，這其中最有名的形式主義支持者Haskell Curry（當然最近有學者認為他實際上是一個結構主義（結構主義的涵義見3.4）者。

哥德爾（Kurt Friedrich Gödel）

讓我們簡單回顧一下重點，形式主義是一種典型的唯名論立場，它的最大困難，也一直沒有得到充分解釋的是為什麼數學是可用的，這個問題同時還聯繫著另一方面，一些批評家認為形式主義遺漏了數學的內在意義，而這對於數學是極其重要的，數學不僅僅是符號操作。

3.3 直覺主義（Intuitionism）

三大主義中最「惡名昭著」的莫過於直覺主義了，因為直覺主義對排中律和非構造型存在證明的拒斥。不過我猜直覺主義的某些觀點也許會為很多人所贊同或至少找不出什麼問題。

在傳統的直覺主義者看來，數學物件的存在是依賴於我們的心靈的，故而他們是關於數學物件的觀念論者，我們剛剛提到的邏輯主義大多是實在論，而形式主義則是唯名論，這個關鍵的分歧一再出現。更準確說，數學物件是我們心靈的構造。如果說邏輯主義和形式主義都或多或少受到了康德的影響，那麼直覺主義的宗師布勞威爾（Luitzen  Brouwer）才算是一個真正的康德主義者，他和康德一樣把數學訴諸於我們的直觀，由於非歐幾何和射影幾何的出現使得康德的空間直觀受到了很大衝擊，布勞威爾選擇了我們的康德式時間直觀。

布勞威爾（Luitzen Brouwer）

「直覺主義把生命的諸時刻分離為質地不同的諸部分思考，只是在仍然被時間分割的情況下才能重新統一起來，它是人類智慧的基礎現象，通過抽離它的情感內容得到數學思維的基礎現象，即赤裸的two-oneness的直覺。這種two-oneness的直覺，即這種數學的基本直覺不僅創造了1和2，甚至創造了所有有窮序數，因為two-one中一個元素可以被考慮為一個新的two-one，這一過程可以無限重複。」（Brouwer <Intuitionisme en formalisme> 1912）

我們無需關注布勞威爾在哲學上的具體觀點，簡單來說，布勞威爾是一個再典型不過的觀念論者、真值反實在論者。他和康德一樣認為數學是先天綜合的。更準確一點說，數學的本質是理想化的精神構造。這裡的理想化是指，對於關於數學的活動而言，紙和筆都只是輔助工具而不是本質性的，只有關於數學的心靈活動，一種—主動的—基於時間直觀的—精神—活動才是數學的本質。例如為了證明有無窮多個質數，直覺主義認為我們需要做的是提供一套可行的程式，能夠構造出無窮多個質數（當然未必是全部質數），說一個方程在複數域內有根意味著我們能夠提供關於這個根的構造。說一個數學物件存在，即是說對其構造的可能性。在這之後，可以看到布勞威爾是反對排中律的。

在布勞威爾看來，排中律必須依賴於數學的本體實在論立場，而這是他不接受的。那些認為數學物件存在於獨立的數學王國的數學家當然相信例如或者存在或不存在自然數n滿足某個命題Pn，但在布勞威爾看來卻並非如此，說不存在n意味著假設n存在推出矛盾，但說存在n卻是指提供一個對n的構造方案。這二者不是一回事。布勞威爾也不承認實無窮，準確一點說，我們不能像大多數數學家那樣把例如實數視作一個完成了的集合，它是一個在不斷構造中的集合和序列。同樣的，布勞威爾堅決反對非直謂定義的使用。

更進一步，在布勞威爾看來，數學的本質存在於心靈和精神之中，而邏輯主義和形式主義關注的邏輯和語言對於數學而言都是非本質性的，它們不過是數學用於交流的附屬物，邏輯只是通過語言交流數學規則的一種編碼而已，對邏輯和語言的關注對於數學而言是流於表面，沒有抓到數學的要點的。邏輯和語言可說僅僅是精神構造的交流不完美的媒介，而數學是關於後者的。

在布勞威爾之後，他的學生阿蘭德．海廷（Arend Heyting）繼承了直覺主義的主要思想，並發展了一整套直覺主義的形式化系統，在某種意義上這和布勞威爾是不合的，因為在布勞威爾看來形式化本身就已經丟掉了數學的本質，不過海廷的這些工作使得我們可以從數學，而不僅僅是哲學角度考察直覺主義的數學主張。直覺主義對於經典數學不僅僅是限制，確切說它們是不相容的。在今天，關於直覺主義邏輯的相關研究在數理邏輯方面已經非常豐富了。我們也許可以說，儘管直覺主義並沒有多影響到大多數傳統的數學領域，但在數理邏輯方面已經受到了很多重視。

杜邁特（Michael Dummett）

在今天的哲學界也有一些直覺主義者，例如Michael Dummett。但要注意，說Dummett是一個直覺主義者是指他對直覺主義邏輯的支援，就哲學上的考慮Dummett和布勞威爾以及海廷是截然不同的。Dummett從一開始關注的焦點就是布勞威爾認為不完美的語言，他的討論非常技術化也非常哲學，是從語義學和語用學的一些考慮開始的，因為我個人完全沒搞懂，所以就不在這裡妄言了。

簡單總結一下，直覺主義的核心在於對排中律（Law Of Excluded Middle）的拒絕。傳統的直覺主義者是觀念論和真值反實在論者，他們認為數學是一種精神活動，一種進行中的構造活動，而語言和邏輯都是非本質性的。現代的直覺主義者，或說Dummett未必會接受傳統直覺主義的哲學上的考慮，但他也同意對排中律的拒斥，或者說排中律的使用是不合法的。儘管經典數學在物理上可能取得了巨大成功，但對於直覺主義而言這些應用是無關緊要的。

3.4 結構主義（Structuralism）

柏拉圖主義者也許會認為，每一個自然數都實在，而且獨立於另一個自然數，就如一個蘋果的存在獨立於另一個蘋果。結構主義者拒絕這一點，他們認為數學是關於抽象的數學結構的學科。例如數論的研究物件是一個抽象結構，這個結構具有以下形式的無窮集合共有的模式（pattern）：一個唯一的初始元素（0），後繼關係和歸納公理（Peano公理）。數位2是這個結構的第三個元素（從0開始），數字5是第六個。它們存在於這個結構中，沒有一個自然數獨立於另一個自然數，它們都依賴這個結構。當然在本體論上依賴比不意味著在認識論上也依賴，我們可以認識2而不認識5，類似於我們可以瞭解一個蘋果而不瞭解它的微觀結構一樣。數學研究的物件不是單獨的數學物件，而是某個結構，這些物件則佔據了這個結構中的特定位置。

一個重要的概念是系統（system），它是物件的集合和物件的關係，一個結構是一個系統的抽象，忽略掉無關因素，例如一場籃球比賽場上球員和球場（也許還有教練）構成了一個系統，結構是對這個系統的抽象，比如當我們討論籃球戰術時，我們不必關心這些球員球衣的號碼或頭髮的顏色，這些無關因素就被剔除，比如下圖就是我們需要的結構，它包括各球員的站位，還有這些球員在球場上的分工（圖中數位即是這樣的標記），但它不包括這些球員的名字，頭髮的長度等等。在這樣的例子中我們也可以看到，控球後衛不是單獨存在的，中鋒也是，它們共同存在於籃球隊這個結構和系統中。

對於數學的可用性，結構主義可以如此回答：現實世界中存在著各式各樣的系統，這些系統包括特定的數學結構的例示（exemplification），例如一個物理空間中（也許是）是一個黎曼幾何的例示，物理空間中諸元素的關係也就符合於黎曼幾何結構中的關係。但著重強調，不要把物理空間中的點和數學幾何中的點對應起來等等，對於結構主義，不是單獨的元素相對應，對應的是整個結構和結構中各位置的關係。

那麼結構是實在的嗎？有兩類不同的結構主義：共相先在（ante rem）結構主義和取消（eliminative）結構主義。共相先在結構主義認為，結構的存在獨立於它在現實世界中的例示，作為類比，柏拉圖認為紅性（redness）先於世界上所有紅色的物件，即便所有紅色的物件（紅性的例示）都從世界上消失了，紅性也依然存在。所以共相先在結構主義對於數學物件是柏拉圖主義式的，一個典型的單稱詞項（singular term），比如自然數「2」就是一個真正的單稱詞項，它指稱自然數結構中的某個特定位置。取消結構主義則認為，結構的存在必然總是聯繫著例示該結構的系統，從這種意義上，結構並不獨立存在，它對於數學物件是唯名論式的。單稱詞項是一些約束變數，例如2+3=5應該被理解為在任何自然數結構中處於第3個位置的任意物件（2）與第四個位置的物件（3）在結構中的加法（+）得到的是第六個物件（5）。我們不能問，在這個結構中的第3個位置的物件是什麼，它並不預設這個物件是什麼，甚至於說它並不預設這個物件存在。也就是說，它是一種沒有結構的結構主義（structuralism without structures）。

如果我們假定物理世界中的物體是有限的，那麼我們將很難看到包含無窮基數的數學結構是如何被例示的，一種選擇是共相先在結構主義，無窮基數在某種意義上是獨立於它的例示而存在的。對於取消結構主義，一種方法是假定有足夠多的抽象物件，包含這些抽象物件的抽象系統例示了相應的數學結構，另一種方法則是引入模態邏輯，它被稱為模態結構主義（modal structuralism）。所有這些策略的具體含義及遇到的技術上的困難，這裡不討論。

對於數學的認識論方面，共相先在結構主義的問題是，我們是如何認識結構的，而對於假定抽象物件的取消結構主義，問題是我們如何認識例示了無窮結構的抽象系統，對於模態結構主義，問題是我們如何知道哪個系統是可能的以及對這樣的系統是如何認識的。對於這樣的認識論問題，結構主義的策略並非是單一，而是一系列的。例如，首先在生活中我們會遇到各式現實中的系統，借由模式識別的心理機制我們可以獲得關於小的，有窮結構的知識，通過反思這樣的序列我們可以獲得自然數結構的知識，借由比例知識還可以進一步得到有理數結構等等。

簡單總結，結構主義認為數學是關於結構的學科，數學物件的存在必須依賴於包含它的結構，現實世界中的系統是這些結構的例示。所有結構主義者都同意數學的真值實在論，但在本體論問題上則出現了分歧，一些結構主義者是本體論柏拉圖主義者，另一些則是唯名論者。

3.5 自然主義（naturalism in the philosophy of mathematics）

如果只用一個詞概括／描述二十世紀下半頁到現在的分析哲學界的發展，「自然主義」（naturalism）無疑是最適合的一個，無論哲學家們對自然主義的變化是歡迎、懷疑或恐懼，都不得不承認自然主義深刻地改變了分析哲學的地貌（landscape）。自然主義作用於多個不同的哲學領域，而即便是在數學哲學中自然主義也包括三個相關但不相同的維度：本體論、認識論和方法論，限於篇幅在本文中並不會詳細區分它們，而是把它們放在一起考慮。

讓我們直接從奎因（Willard Van Orman Quine）和普特南（Hilary  Putnam）的一個著名論證：不可或缺性論證（indispensability arguments）開始，先要著重強調，並非只有數學的自然主義者才支持這個論證，反過來也並非所有數學的自然主義者都支持這個論證。

P1 如果數學公理為真，那麼人們必須承諾這些公理中數學詞項指代的抽象實體存在。
P2 我們最好的科學理論為真或近乎為真或至少它是最好的。
P3 數學對於我們最好的科學理論是不可或缺的。
C 如果我們承諾我們最好的科學理論，則我們必須同時承諾數學，如此我們也必須承諾數學實體存在。

這個論證的結論是數學的本體論和真值雙實在論立場。對於奎因這樣的數學自然主義者而言，這個論證的一個關鍵在於，所有「存在」都只有一個意義，即物件在我們的科學理論中的應用，無論這個物件是數學這樣的抽象物件，還是像椅子這樣的日常物件，抑或電子這樣的科學物件，它們都只可能在一種意義上存在，即科學的意義上。

「在這個論證的基礎上，奎因還是一個數學的經驗主義者，他反對任何的先天知識，數學知識的獲得是通過信念之網（web of belief）的整體論（holism）的形式：我們所謂的知識或信念的整體，從地理和歷史的最偶然的事件到原子物理學甚至純數學和邏輯的最深刻的規律，是一個人工的編織物。它只是沿著邊緣同經驗緊密接觸。（Quine 'Two Dogmas of Empiriccism' 1951）」

在奎因看來，數學（同邏輯一起）在這個網中處於中心位置，在於1.它遠離我們的感官經驗；2.它聯繫著整個網中更多的部分。但是這個中心位置並沒有把數學從這張網中與其他部分徹底區分開，在數學和自然科學之間沒有明確界線（再說一遍，沒有明確界線不等於沒有區別），數學和科學在它們的交界處交織在一起，人們必須接受科學為真，從而也必須接受數學為真，原則上數學陳述的真值是可修改的，儘管這將導致我們整個信念之網的大幅震盪，即我們同時還需要修改網中其他大量其他（數學和科學的）陳述的真值以達到平衡，我們之所以認為5+7必然等於12僅僅是一個心理學事實，而不是關於數學的任何事實。數學和科學構成的整體：我們的信念之網卻並非總是不變的，它可以，實際上也確實正在不停發展，但是除了接受我們現有的信念之網是真的以外我們別無選擇，對此奎因引用了紐拉特（Otto Neurath）的一個著名比喻：

「我們就像是在廣闊大海上航行的水手，必須不停修復我們的船隻，但不能在船塢中將整艘船拆卸並用最好的零件重建這條船。」

紐拉特（Otto Neurath）

在這裡，數學的合法性不是從任何哲學中獲得的，而是從它在科學的使用中獲得的，數學哲學家不過是數學的女僕，甚至是在試圖多管閒事，哲學是處於最後位置的（philosophy-last-if-at-all-principle），而不是傳統哲學家所設想的哲學在先（philosophy-first-principle）。這正是數學的自然主義的一個核心主張，數學哲學僅僅負責描述數學和數學實踐，它對數學沒有規範性意義。

但在這裡自然主義內部有一個重要的分歧：奎因認為「只有在科學／哲學事業需要的範圍內才接受數學（也許為了'事情的圓滿'，會比這多一點）」，而那些在科學中沒有應用，或者說沒有協助科學的數學事業並不被接受（從而，不可或缺論證對於數學的實在論不僅是充分的，還是必要的），這些部分基於奧卡姆剃刀的原則就應該被丟棄；Burgess和Rosen認為既然數學和科學共同構成一個整體，科學就不能以一個優先的位置給予數學合法性，數學和科學是一個共同體，它的合法性是在這個共同體中共同獲得的；Maddy則持有另一種觀點，她認為我們的信念之網並非是沒有縫隙的，數學有其自身的方法論，數學的合法性來自於它自身而不是來自於應用它的科學，正如數學史上很多數學發現都在很久以後才在科學中得到應用。簡單來說，這三種觀點的分歧在於是什麼給予數學的合法性地位，作為自然主義者他們都同意不是哲學，奎因認為是科學，Burgess認為是科學—數學，而Maddy認為是數學自身。[注2]

毫無疑問以上介紹的是一種最典型的數學自然主義，但考慮到自然主義一詞的範疇之大，它絕不是唯一的一種，例如有一種自然主義認為「存在」只在於在時空中存在（spatiotemporal），而不是在於物件在科學中的應用。既然如此，這種自然主義必然是反對不可或缺性論證和柏拉圖主義的，它也可以和反實在論式的結構主義或下一節介紹的虛構主義相相容。故而，它不算是一種單獨的關於數學哲學的立場，但確實是自然主義的。

稍微總結一下，數學（哲學）的自然主義者在數學本體論和真值問題上都持有實在論立場，同時數學是經驗知識，而不是先天知識。數學的合法性地位一定不是來自任何哲學，而是來自數學或科學或二者之並，數學哲學之於數學僅僅具有描述性作用。同時，數學的自然主義立場不能被視作僅僅在數學哲學中持有自然主義立場，二者不是重合的。

3.6 虛構主義（fictionalism）

柏拉圖主義認為數學物件客觀存在，因此說「3是質數」在某種意義上和「地球是太陽系的第三顆行星（按照和太陽的距離從小到大）」一樣，前者是對數字「3」的描述，後者是對「地球」的描述。根據我們上一節中介紹的不可或缺性論證，物理學需要數學，而數學包括對抽象實體的指稱和量化，既然如此，如果接受物理學，我們就不得不接受數學物件的本體論地位。對這個論證的一種反對意見是反對上文的前提P1，通過提供一種語義學理論使得數學命題的真不包含對數學物件的承諾。而虛構主義者則不採取這種方法，他們採取一種更加激進的方法，否認P3，認為數學對於物理學是不可或缺的。

虛構主義者的代表人物Hartry Field認為數學物件類似於小說中的地位，我們可以同意「哈利波特頭上有一個閃電狀的傷疤」而不需要承諾哈利波特存在，同樣的Field接受P1，數學命題的真的確需要存在抽象實體，但這樣的抽象實體不存在，所以數學命題僅僅具有空洞的真值，因而「所有自然數都是質數」可以為真，因為根本就不存在自然數，儘管我們有數學定理「並非所有自然數都是質數」，也就是說數學陳述的真值並不與數學定理符合。也就是說，虛構主義者是數學的本體論唯名論者和真值反實在論者。

我們可以同意「哈利波特頭上有一個閃電狀的傷疤」而不需要承諾哈利波特存在。

現在虛構主義要應對的第一個主要問題是，如果數學命題沒有非平凡的真值，那麼它是如何被應用於物理等自然科學之中。當然數學對於物理學是有用的，但虛構主義者認為它不是必要的，為此Field發展了關於牛頓的引力理論的一套唯名論版本（普特南的不可或缺性論證也是以引力理論為例的），作為解釋數學的虛構主義如何應用於科學的一個範例。Field論證道，時空中的點是具體而非抽象的，它們不是數學物件，它們在物理學中的地位相當於電子，是作為物理實體存在的。在這之後我們引入一些特定的關係，例如點xyz，定義"y bet（ween） xz"表示xyz共線且y在xz之間，這裡的bet關係不是數學關係，而是物理關係，這裡並不涉及到作為數學物件的點和直線等等。在這之後，Field又通過唯名論語言提供了微分和積分的替代，並證明這些替代物具有數學中微分和積分所具有的性質。這裡的要點在於這種替代理論反對數學物件的抽象存在。

在這之後，Field要表明的是，數學對所有綜合理論都是保守（conservative）的，用通俗而不太嚴謹的說法，如果某個科學理論N加上數學可以推出某個唯名論命題T，那麼單單N就可以推出T，例如從數學中我們推不出引力和物理之間的距離成反平方比，數學不能推出非數學命題，從而數學對於這些科學理論就是可有可無的了。Field進一步認為，即便是柏拉圖主義者也應該接受數學對於科學是保守的：

「如果發現標準數學蘊含宇宙存在10個非數學物件或者巴黎公社失敗了，會是十分令人驚奇的。……（如此）所有人會認為標準數學需要修正了。」（Field <Science Without Numbers> 1980）

這裡的一個困難就在於數學和物理學之間是否有明確的界線。為此Field提供了兩個基於模型論的論證，通過引入一些看上去合理的假設，他證明了數學在必要的意義上是保守的。

很顯然，虛構主義的優點在於它回應了數學的認識論問題，柏拉圖主義最大的問題就是抽象物件是如何被認識的，而虛構主義者則可以回應這個問題，代價是所有數學都不過是虛構，從而它是一種特別激進的數學哲學觀點，所受到的批評也很多。我們簡單看下其中幾種：一種批評是，Field僅僅提供了牛頓引力理論的唯名論描述，而能否將其擴展到所有物理學（更何況還有其他應用到數學的科學），例如量子力學，弦理論等等仍然是一個值得詳細考慮的問題，因為在這些理論中數學的地位更加重要，當然這方面虛構主義者也有一些理論嘗試，但具體我個人不瞭解。

另一個問題是如何在唯名論的條件下定義保守性，因為後者是基於模型論定義的，而這似乎就必須預設集合論物件的存在，這裡又涉及到一系列技術細節。當然虛構主義者最主要的問題是認為數學命題沒有非平凡的真值，而看上去「‘4是質數’是真的」無論如何都無法被接受。

讓我們回顧一下，虛構主義者認為數學物件類似於小說中的人物，是不存在的，而且數學命題也沒有非平凡的真值，它在本體論和真值上都是反實在論立場。虛構主義最大的任務是說明科學是如何在沒有數學的條件下成立的，為此他們的任務是提供了一套唯名論的科學理論，說明數學物件和數學命題真值的實在論立場對於科學是不必要的。虛構主義的最大難題在於它的反直觀性，以及它們整個計畫完成的可能性。

再說一遍，這裡介紹的只是一些主流觀點，還有很多沒有介紹的，而且這些介紹也很簡單，確切說是過於簡單了，完全沒有涉及到重要的技術問題。那這個系列就到此為止。

注1：簡單來說，先天（a priori）的意思是獨立於經驗，或者說不基於「關於現實世界中事件的特殊過程的經驗」。我們可能認為把一個蘋果和另一個蘋果放在一起得到兩個蘋果是1+1=2的一個示例，但並非是這樣的經驗使得1+1=2是真的，類似的，把1體積水和1體積酒精混合得到的混合液小於2體積，但我們不會認為這樣的事實經驗使得1+1不等於2。先天對應的概念是後天（posteriori）。綜合（synthetic）的對應概念是分析（analytic），分析是這樣的概念，一個全稱命題「所有S是P」的謂詞P包含於主詞S的概念中，例如「綠色是一種顏色」，「所有狗都是動物」這樣的，而綜合即是非分析的。不難看到，所有分析命題都是先天命題，所有後天命題都是綜合命題。

康德認為數學命題是先天綜合的，在一個著名的段落中他寫道（因為打字很麻煩，略有刪改）

雖然人們最初大概會想：7+5=12這個命題是一個單純的分析命題，它是從7加5之和的概念中根據矛盾律推出來的。然而如果人們更確切考察就會發現，7加5之和的概念並未包含任何進一步的東西，而只包含將這兩個數合為一個數的意思，這種結合根本沒有使人想到這個把二者合起來的唯一的數是哪個數。12這個概念絕不是由於我單是思考那個5和7的結合就被想到的，並且，無論我把我關於這樣一個可能的總和分析多久，我終究不會在裡面找到12.我們必須超過這些概念之外……

在這裡我要強調兩個方面，一是，這個介紹僅限於康德，很多細節在康德之後都被批評及改進，在這裡沒有涉及；二是，這個介紹非常非常簡單，它只是傳達個意思，不適合嚴肅對待。

注2：在本段以及本文的其他一些地方，我一直是在一種既狹義又廣義的意義上使用「科學」一詞，其狹義在於，我把數學和邏輯等學科從「科學」一詞中排除了出去，儘管這未必是合法的；其廣義在於，這裡的科學不僅僅包括像物理學、化學這樣的硬核（hard）科學，各種較軟的，甚至偶然的事實（知識／信念）都可以被歸到這個「科學」當中。