【林鄭當選．博評】阿羅悖論：有三個候選人，選舉就不可能公平

特首選舉剛結束，為什麼這不是一場公平的選舉？
假設在森林裡，所有動物一起投票，以決定獅子或老虎之中的一名將會成為森林之皇。因為只有兩名候選動物，總有一隻能夠取最少一半（majority）的票數，那動物就會為皇。
後來，猩猩覺得好玩，加入了森林之皇競選遊戲……

假設猩猩參選後，所有動物的投票結果如下：

猩猩：35%
獅子：33%
老虎：32%

領先者當選模式

到底誰會成為森林之皇呢？猩猩取得最多票數，如果採用First past the post （筆者譯：領先者當選）模式，那麼猩猩就是勝出，成為森林之皇。可是，三名候選動物的競選與兩名候選動物的競選有一個最大的分別，就是猩猩沒有取得最少一半（majority）的票數。這正好反映First past the post 投票的壞處，如果候選人數目一多，例如有十名，假設每名候選人的得票率為約10%左右，那麼很可能當選者得票不過半數，即不支持他的才是大多數。

這個時候，貓頭鷹建議以投票時，大家寫下心目中候選動物的次序，重新投票後，結果如下：

有19人選：猩猩>老虎>獅子
有16人選：猩猩>獅子>老虎
有32人選：老虎>獅子>猩猩
有33人選：獅子>老虎>猩猩

香港特首的競選模式

如果森林動物參考香港特首的競選模式，牠們會先消去最低得票者老虎，然後把三隻候選動物變成兩隻，務求讓其中一隻取得超過一半的票數。那麼，支持猩猩的，有35隻；支持獅子的，有65隻，故獅子得勝。

兩個兩個互相較量

如果把三隻動物分組，兩個兩個互相較量，那結果結下：

猩猩：獅子 = （19+16）：（32+33） = 35: 65
老虎：獅子 = （19+32）：（16+33） = 51: 49
猩猩：老虎 = （19+16）：（32+33） = 35: 65

明顯地，大家喜歡獅子或老虎比猩猩多，如果比較獅子和老虎，老虎更優勝，這個模式下，老虎勝出。

暫時總結一下，三種選舉模式下的賽果：

  領先者當選模式：猩猩

  香港特首的競選模式：獅子

  兩個兩個互相較量：老虎

媽呀，我好亂呀，到底邊個贏呀？這個例子想帶出的是，根據1972年諾貝爾經濟學獎得主Kenneth Arrow的Arrow's impossibility theorem（不可能定理）或Arrow's Paradox（阿羅悖論），以及他所提出的公平條件，當候選人最少為三時，世上是沒有一個選舉，可以根據每一個個體所選擇的排序，而投票成一個集體決定。他所提出的公平條件包括：

一，如果森林內每隻動物都喜歡猩猩多過獅子，那麼選舉結果也會是猩猩勝過獅子。
二，就算有動物改變了選擇，但只要所有動物仍然喜歡猩猩多過獅子，那麼選舉結果也會是猩猩勝過獅子。
三，不存在可主宰選舉結果的獨裁者。

不可能定理最殘忍的推論，是如果想有個「公平」選舉可以滿足條件一與二，那就一定有獨裁者。所以特首選舉不公平，是一件必然會發生的事。

（文章純屬作者意見，不代表香港01立場。）