康托爾：現代數學的奠基者；面對集合論「死路」垂死掙扎的數學家
作者｜黎子元
人們或會認為，從事數理科學的人，應該與世無爭，躲在自己的小樂園做著安安穩的研究，遠離一切世俗的煩擾和流言蜚語。可惜的是，幻想終敵不過事實，從事數理研究的人也不能逃開別人的攻訐，甚至抹黑和中傷。在西方數理科學史上，其中一位不幸者是德國著名的數學家康托爾（Georg Cantor）。
康托爾出生在俄國的聖彼德堡，但後來舉家搬到德國，並在1867年，於柏林大學獲得博士學位。他創立了數學的集合論。不過這個理論在當時不單上得不到廣泛的認可，還遭到一大群數學家的攻擊。他為此患上了抑鬱症，由於病情不斷惡化，最後精神失常於精神病院去世。所以說，人言可畏，不能不慎。
格奧爾格・康托爾的名字因為當代法國哲學家阿蘭・巴迪歐（Alain Badiou）的「數學本體論」而為更多哲學讀者所知悉。然而在數學領域中，康托爾早已被數學家們視為現代數學的奠基者——康托爾集合論（Cantorian set theory）的建立作為數學思想史上的重要事件，劃分出了一個「後康托爾」時代，並且規限了這個時代的數學思想發展，即集合論的「公理化」（axiomatization）。
作為一種「後康托爾思想」，巴迪歐於《存在與事件（1988）》規劃的數學本體論同樣以康托爾集合論作為其「數學條件」。康托爾對現代數學的貢獻是深遠的，這裡我們僅針對當代哲學，特別是巴迪歐哲學，來談談康托爾的集合論。從康托爾的問題意識上看，藉助「集合」概念，他試圖解決數學學科一個長久得不到解決的難題：如何處理無限？
「康托爾樂園」
德國數學家大衛・希爾伯特（David Hilbert，1862 – 1943）是康托爾的堅定擁護者。他說：「沒有人能夠把我們從康托爾創立的樂園中驅逐出去」。這座「康托爾樂園」就奠基在康托爾對於「超限數」（transfinite numbers，數學符號為「ℵ」）的發現與定義之上。通過對集合的研究（以一集合所有子集為元素的新集合，其基數比原集合大），他發現在超出「可數的無限」（the denumerable infinity or the ‘counted infinity’）之外還存在著更多的「無限秩序」（orders of infinity）。他於是將其定義為「超限」，即比一切可數無限都大卻不必作為絕對無限的數字。
這個偉大的思想革命被巴迪歐回溯性地描述為對於一種新形式的「多」（multiplicity）的發明。「無限秩序」概念的提出意味著通過建立起一套規範化的差異秩序，數學家如今可以從積極意義上重新看待並處理「無限」。而藉助「集合」概念建立起來的一致性則解決了關於無限的「非一致性」（inconsistencies）的傳統難題。
樸素集合論的「死路」
然而康托爾的集合論是一種樸素的集合論（naïve set theory）。它藉助直覺將「集合」定義為把各種不同的東西聚集在一起所形成的總體。在後期研究中，康托爾已經發現他的集合論包含了悖謬，例如會碰到「有沒有所有集合的集合」的問題（後來由著名的「羅素悖論」表達）。面對樸素集合論的「死路」（impasse），康托爾垂死掙扎。最後，為了維繫「集合」概念的一致性（這無疑是集合概念最寶貴的特性），他不得不將一切「不一致的無限」（inconsistent multiplicities）排除在無限秩序以外，並且將這些被排除掉的「絕對的無限」皆歸屬於神的領域。通過這個操作，他保住了集合概念的一致性，保住了「良序集合」（well-ordered set）。巴迪歐評論道：「康托爾毫不退縮的將絕對與不一致相關聯。在計算為一（the count-as-one）的操作失敗的地方便站立著神。」
面對樸素集合論的困境，集合論的「公理化」在20世紀（1908 – 1940）逐步開展，最終確立了成為今天數學學科基礎的公理集合論（axiomatic set theory），例如 ZF 系統（Zermelo–Fraenkel set theory）；布爾巴基（Nicolas Bourbaki）以集合論為基礎的數學統合計劃。而就在康托爾的死胡同，巴迪歐以強力貫穿出一條通路——他的數學本體論的最重要的概念以及基本邏輯模型就是對康托爾的「不可能」的逾越。正是在這個意義上，我們說康托爾的集合論是巴迪歐本體論的條件。
晚年的數學家
1911年，康托爾作為著名外國學者受邀參加蘇格蘭聖安德魯斯大學（University of St. Andrews）五百週年慶典。康托爾希望在慶典上見到羅素（Bertrand Russell）——羅素在新書《數學原則》（Principia Mathematica）中多處引用了康托爾的學說——然而他的希望落空了。一年後，聖安德魯斯大學授予康托爾榮譽博士的學位，可是，疾病纏身的他無法親自到場參加學位授予儀式。
康托爾於1913年退休，在一戰期間飽受貧困和營養不良的折磨。由於戰爭，公眾為他慶祝70歲生日的活動也不得不取消。他人生的最後日子是在療養院度過的。在這裡，於1918年1月6日，他選擇以自殺的方式於精神病院告別世界。
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